Yo,
j'ai eu un oral d'analyse cet aprem. Examinatrice jeune souriante très sympa. Elle m'a posé deux petites questions pour justifier l'intérêt de ce qu'était vraiment mon exo :
1) On prend f : R -> R avec f² de classe C infini. Que dire de f ?
- j'ai beugé mais en fait...:
On prend f qui vaut 1 si x est rationnel et -1 sinon et on voit que f peut ne pas être régulière du tout.
2) Et si maintenant c'est f au cube qu'on suppose de classe C infini ?
- spoiler:
La racine cubique montre que f n'est pas C1. Sinon elle est continue et dérivable là ou elle ne s'annule pas.
3) (La vrai question) Et si f² et f au cube sont de classe C infini ?
Voilà des indications :
- spoiler:
Elle ne l'a dit que vers la fin mais en fait f est bien C infini.
- spoiler:
Montrer d'abord que f est C1.
- spoiler:
Quitte à se translater on s'est placé en 0, en supposant f(0)=0 (le cas qui pose pb). Il faut utiliser taylor jusqu'à un ordre non nul s'il existe pour f carré et f cube. On obtient une relation avec ces coefficients en faisant des équivalents et en élevant aux bonnes puissances. On trouve la limite du taux d'accroissement. Si les termes sont tous nuls dans taylor, f carré est du petit o de h puissance 4, donc f'(0) existe et vaut 0.
- spoiler:
Dans le cas général, Taylor reste intégrale sur f^3. Elle m'a dit de supposer que les coefficients dans la somme n'étaient pas tous nuls. On fait un changement de variable affine dans l'intégrale pour avoir les bornes entre 0 et 1. L'oral s'est arrêté là. (il faut juste justifier que l'intégrale, vue comme une intégrale à paramètres, est de classe C infini et elle a dit qu'on pouvait passer à la racine cubique (j'avoue j'ai pas exactement compris mais ça doit être juste)).
Bon ressenti c'était assez agréable par rapport à d'autres oraux.
PS : big up aux gars d'Ulm qui faisaient un foot en salle avec des tables en guise de cages.
ET LES FILETS DU TERRAIN DE BASKET SONT TOUS PROPRES ! (n'importe qui peut y aller quand il veut)
A +
Mer 5 Juil - 21:52