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 Maths Lyon

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17-Rasson Mathieu



Messages : 17
Date d'inscription : 01/09/2016

MessageSujet: Maths Lyon   Jeu 29 Juin - 12:02

Bonjour,

J'ai eu un oral d'algèbre sur le groupe symétrique.

On prend un automorphisme de groupes psi du groupe symétrique S_n. On suppose que psi envoie les transpositions sur les transpositions.
Montrer que psi est un morphisme de conjugaison.

J'ai commencé par redémontrer la caractérisation d'une classe de conjugaison dans S_n par le nombre de k-cycles dans la décomposition en cycles disjoints, pour k entre 1 et n. Il faut ensuite démontrer que psi conserve ce jeu de nombres.
Pour cela, il suffit de montrer que psi envoie un k-cycle sur un autre k-cycle, sachant que le résultat pour k=2 fait partie des hypothèses. L'examinateur m'a alors fait traiter les cas k=3 et k=4. Dans les deux cas, il faut raisonner autour d'une décomposition en transpositions du cycles. Puis, on travaille sur les supports de ces transpositions. Il faut qu'il y ait un unique point commun de proche en proche dans l'intersection des supports. On utilise alors l'injectivité de psi et la commutation (deux transpositions commutent si et seulement si leurs supports sont disjoints), conservée par psi.
Mon oral s'est arrêté là. La méthode pour k=4 doit pouvoir s'étendre à k quelconque, et prouver ainsi le résultat.

L'examinateur a insisté sur l'importance de commencer par de petites valeurs de k pour voir ce qu'il se passe.

Mathieu Rasson
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