Encore une fois examinatrice très et très jeune (plutôt fin de la 20aine cette fois). J'avais le jury 3 pour ceux que ça intéresse. Elles semblait un peu timide (peut être que ma piètre prestation à réussi à l'impressionner
). Toujours en est il que J'ai beaucoup bloqué et elle m'a donné beaucoup d'indications. C'était un bel exercice type ENS cette fois.
Exercice :
On définit GLn(Z) les matrices de Mn(Z) dont l'inverse est encore dans Mn(Z). On prend p un nombre premier >=3
On pose phi la surjection de Gln(Z) dans Gln(Z/pZ). Elle n'a pas donné plus d'indications sur cette surjection mais c'était la surjection canonique.
Une première question préliminaire est de montrer que phi est bien définie.
- Spoiler:
On regarde le déterminant
Ensuite vient la vrai question :
Soit G un sous groupe fini de GLn(Z). Montrer que phi restreint à G est injective.
Voilà quelques indications qu'elle a pu me donner :
- Indication 1:
Comment peut s'écrire une matrice du noyau
- Indication non donnée:
On va montrer que la seule valeur propre de M dans le noyau est 1 et que M est DZ
- Indication 2:
Regarder le polynôme caractéristique d'une telle matrice. (on trouvera ainsi une belle relation en rapport avec l'indication 1)
- Indication 3:
on va d'abord montrer que 1 est valeur propre de M
- Indication 4:
Faire une récurrence descendante
Finalement j'ai l'impression de n'avoir rien fait du tout de mon oral, étant donné qu' elle m'a indiqué quasiment toute la méthode.. Mais bon elle était gentille et n'avait pas l'air trop désespérée