L'exercice que j'ai eu est :
Soit d en entier non nul, f une application de Z^d dans R
def : f est harmonique ssi pour m dans Z^d, f(m)= (Somme pour i=1 à d de [f(m+e_i)+f(m-e_i)] ) / (2d)
où (e_i) est la base canonique de Z^d
(on peut interpréter ça par f(m) est la moyenne de l'image des points autour)
le but et de montrer que si f est harmonique et bornée, alors elle est constante.
Il m'a posé plusieurs questions pour démontrer ça :
1) cas pour d=1
2) on pose, pour h dans Z^d, Delta(h)=sup{f(h+m)-f(m)} où m décrit Z^d
Montrer que pour tout h, Delta(h) positif.
3) Montrer que Delta(e_1) négatif
je me suis arrêté ici pour l'exercice.
Indication :
pour la 2) : montrer que f(k.h) tend vers -infini quand k tend vers +infini
pour la 3) : soit epsilon>0, il existe n_epsilon dans Z^d tel que : Delta(e_1)-epsilon < f(e_1+n_epsilon)-f(e_1) <= Delta(e_1)
Il fallait utiliser cette relation, mais je ne savais pas comment.
Il m'a ensuite demandé comment démontrer la résolution des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (car je les ai utilisées dans la première question), puis il m'a demandé ce que je pensais de la dimension de l'espace des fonctions harmoniques, et ça s'est arrêté là.
Mer 21 Juin - 21:20