Bonjour,
J'ai eu un oral d'analyse.
On prend une fonction f de R^2 vers R^2 quelconque. On suppose uniquement que f conserve les distances entières.
Montrer que f est une isométrie.
L'examinateur a commencé par me laisser du temps pour faire des remarques sur le problème posé. Pour lier la distance entre deux images quelconques, et celle de deux points proches des premiers mais à distance entière, il est nécessaire d'avoir une hypothèse de continuité (uniforme même). Pour aller d'une distance entière à une distance quelconque, on peut passer par une distance rationnelle. Mais, pour cela, il est nécessaire d'avoir des propriétés de morphisme pour f.
L'examinateur m'a orienté dans cette dernière direction. Il m'a suggéré de montrer que pour x de norme entière, pour tout n entier naturel on a f(n*x)=n*f(x). Pour cela, on commence par se ramener au cas où f(O)=O, en composant par une translation, qui est une isométrie. Ensuite, on s'intéresse au cas n=2, avec un dessin. Grâce au changement d'origine, f conserve la norme de x et donc de ses multiples entiers. Sur le dessin, on a x et f(x), 2x et f(2x) de mêmes normes, mais surtout f(2x)-f(x) et 2x-x=x. Alors, en passant par f(x) pour aller de O à f(2x), on a égalité dans l'inégalité triangulaire. Donc f(x) et f(2x) sont colinéaires de même sens. Ils sont donc égaux d'après les normes. On a le même résultat en remplaçant 2 par n.
En reproduisant le même raisonnement pour f(x) et f(-x), on généralise ce résultat à m entier relatif. Ce résultat s'applique alors à x,y de distance entière, en remplaçant x par x-y.
L'examinateur m'a ensuite demandé d'étendre encore ce résultat au cas où x-y est rationnelle. Pour cela, on passe par un point z à distance entière de x et de y. Un tel point existe, car si l'on trace deux cercles de centres x et y, de rayons entiers et de somme strictement supérieure à la distance entre x et y, on obtient deux points d'intersection. Ces deux points conviennent.
Mon oral s'est arrêté là. Il fallait sûrement réécrire un cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire.
Mathieu Rasson
Mar 27 Juin - 19:53