Maths ULCR Oijid

Ca s'est plutôt bien passé ^^ Mais comme j'ai un gros manque d'inspiration, je passe direct à l'exercice.

L'exercice principal :

Soit P de degré >=1.

On suppose que cos(P(n))_n\in N admets un nombre fini de valeur d'adhérence. Montrer que P-P(0) est dans pi*Q[X]

Je donne plusieurs indications, c'était un peu une discussion, il m'en donnait beaucoup, c'était sympa. Je noterai d'une étoile les indications qu'il m'a donné  

J'ai assez rapidement du montrer un lemme (on y arrive très vite donc je le cache pas) : Si u_n et v_n sont 2 suites bornées ayant un nombre fini de valeur d'adhérence et f est une fonction continue de R^2 dans R, alors f(u_n,v_n) admets un nombre fini de valeur d'adhérence.

Indication 1:

Indication 2:

Indication* 3:

Indication* 4:

Indication 5:

Exercice terminé, il restait environ 15 minutes, il m'a fait redémontrer les dernières étapes différement (j'avais commencé par une autre méthode, il m'a dit qu'elle marchait mais qu'il voulait pas faire comme ça, du coup, quand j'ai fini, il m'a dit de finir avec ma méthode aussi)

Exercice 2 : (Faut bien tuer le temps)

montrer que u_n = cos(2^n) n'admets pas de limites. L'exercice est pas très compliqué, je mets quand même une indication pour ceux qui veulent juste savoir comment faire et qui ont la flemme d'y réfléchir (ce n'est qu'une méthode parmi d'autres

Indication:

Exercice 3 : J'ai pas eu le temps de le faire, il restait même pas 5 minutes

Soit G un sous groupe stricte de R, montrer que R\G est non dénombrable.

Je viens de réaliser que pendant les 2 minutes pendant lesquelles je me suis penché sur l'exercice j'ai dis "si x_0 n'appartient pas à G, on considère x_0G... Ah non, c'est pas un groupe..." .......... On va mettre ça sur le dos de la fatigue !

L'examinateur était super sympa, super souriant, c'était une vraie discussion, j'ai bien aimé qu'il me fasse finir l'exo différemment alors que ma méthode fonctionnait (car trop calculatoire selon lui xD). Je suis assez fier, je pense que ça me mets de bonnes condition pour l'ENS de lyon (il suffit de pas se taper 3 en TIPE)

PS : Si quelqu'un sait comment faire mon Exo 3, je suis preneur ( même si j'ai plus d'oraux de maths de ce niveau, je suis curieux)

Salut nacim, si a est un element de R/G alors G s'injecte dans R/G a travers g-> g+a. Donc G est subpotent à R/G, si R/G est denombrable, G est au plus denombrable d où R denombrable, ce qui j'est pas.

Merci Marco !