17-Thibault-Guettier
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 | Sujet: Maths ULCR Thibault G.  Jeu 29 Juin - 9:21 | |
| Examinatrice très gentille, qui parle beaucoup et accepte les démonstrations avec un schéma. Elle commence par me présenter une conjecture: Soit P dans Cn[X] de degré n. On suppose que pour tout i dans [1, n-1], P et et la dérivée i-ième de P ont une racine en commun La conjecture est que s'écrit P=a(X-l)^n Mon exercice consistait à montrer cela dans le cas n=4 Il faut utiliser à de nombreuses reprises le théorème de Gauss-Lucas. - Spoiler:
Je ne me souviens plus exactement de l'ensemble de la démonstration, mais l'idée est de traiter plein de sous-cas.
On sait déjà que P=k(X-a)^2 (X-b) (X-c)
Premier cas: b vaut a et c différent de a
On écrit la forme du polynomes et on arrive à une absurdité en appliquant l'hypothèse pour i=3
Deuxième cas: b=c différents de a
On arrive directement à une absurdité en écrivant la forme du polynomes et en regardant i=3
Troisième cas: b != c != a
Il faut faire un schéma... Avec Gauss-Lucas les racines de P' sont dans le triangle (a,b,c) avec b et c exclus en tant que racines simples. Ca nous donne 3 racines de P' , par exemple (e,f,g). Ce nouveau triangle est dans (a,b,c) b et c exclus. Mais alors les on peut réitérer l'argument pour P'' puis P''': les racines en commun de P avec les dérivées successives sont forcément a d'où la forme de P.
Il reste un cas particulier de ce troisième cas à traiter: lorsque a b et c sont alignés (on a plus de triangle donc c'est un peu plus compliqué). C'est le même genre d'arguments, on connaît les positions des racines de P', P'' et P''' avec Gauss-Lucas. On en déduit la forme de P'' qu'on peut ensuite intégrer...
Enfin c'est très visuel tout cela, il faut faire plein de schémas et avancer petit à petit et il n'y a rien qui gêne.
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17-ElisPierre
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| | Sujet: Re: Maths ULCR Thibault G. Jeu 29 Juin - 10:33 | |
| Si tu avais fait ADS avec Gallic tu l'aurais déchiré :p
(la conjecture a été montrée dans le cas général le mois dernier) |
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