Mon oral s'est déroulé un peu plus tôt que prévu, car le secrétariat du concours m'avait appelé en me demandant si je pouvais passer sur un créneau plus tôt, après le désistement d'une candidate, ce que j'ai accepté (du coup je suis passé juste avant Sacha avec le même examinateur, en attendant son rapport...).
Dès le début, l'examinateur m'annonce qu'il va me laisser explorer des pistes, de ne pas hésiter à prendre des initiatives. Malgré tout, j'ai l'impression d'avoir passé plus de temps à essayer de comprendre les questions qu'à chercher à y répondre, l'examinateur ne précisant pas toujours clairement les hypothèses qu'on faisait ; je vais quand même essayer de retranscrire le plus exactement possible les questions (en tout cas ce que j'ai compris).
1) On prend une fonctions u0 de R dans R, Cinfini, et un réel a. Montrer que la fonction u(x,t) = u0(x-at) vérifie du/dt + a du/dx = 0 et u(x,0) = u0(x). (Bon là suffit de le vérifier, j'ai un peu bugué en cherchant le piège, mais en fait y'en n'a pas.)
2) On prend u0 de R dans R^n, Cinfini, et une matrice A diagonalisable. On veut une fonction u de R^2 dans R^n telle que du/dt + A du/dx = 0 et u(x,0) = u0(x).
- Spoiler:
Là aussi, gros bug (je crois que l'examinateur n'avait pas précisé la nature de la fonction u qu'on cherchait, et même si u de R^2 dans R^n semble être la seule possibilité, ça m'a pas mal perturbé). En fait si A est diagonale, on a juste l'équation coefficient par coefficient. Dans le cas général on diagonalise A = PDP^-1 et on fait le changement de fonction v = P^-1u.
3) Montrer que si u,v sont deux solutions (du problème initial, je précise ici) et f Cinfini de R dans R, f(u-v) est encore solution. (Suffit de dériver pour le vérifier).
4) On prend u et v deux solutions de carré intégrable (sur R^2, même si ce n'était pas précisé) telles que pour toute fonction f de R^2 dans R Cinfini à support compact, l'intégrale double pour x dans R et t dans R+ de (u-v)^2(df/dt + a df/dx) vaut 0, et on veut montrer que pour T fixé, l'intégrale sur R de (u(x,T)-v(x,T))^2 est nulle (et donc les deux fonctions sont égales).
- Spoiler:
Là je l'ai pas fait en entier, l'examinateur m'a dit que c'était une question difficile. En gros faut prendre des suites de fonction et faire de l'interversion limite-intégrale (ne pas oublier de se placer sur un compact de R^2 pour dominer par des fonctions constantes...). On n'a pas vraiment vérifié si de telles fonctions existent.
En fait le but était de montrer une forme d'unicité de la solution. L'examinateur me dit que l'égalité sur l'intégrale en question était une égalité entropique (ça ne m'avançait pas des masses). Je crois qu'en faisant de l'IPP on peu montrer que cette égalité est vérifiée, mais il ne restait plus de temps.
A la fin, comme pour Marie ce matin, l'examinateur m'a demandé ce que je voulais faire plus tard, quelles écoles je visais. Il m'a aussi parlé des admissions sur dossier, pour qu'on fasse un peu de pub autour de ça
Mar 20 Juin - 17:56