Exercice
1- "Question préliminaire" : montrer qu'un ouvert de R s'écrit comme une réunion dénombrable d'intervalles deux à deux disjoints.
2- Pour O un ouvert de [0, 1] , on note χ_O (x)= inf { |x-y| ; y appartient au complémentaire de O dans [0, 1] }.
Pour O, U des ouverts on note d(O, U) = norme infinie de (χ_O - χ_U).
Montrer que d est une métrique, i.e que
i) pour O, U, d(O, U) = d(U, O)
ii) d(O, U) = 0 ssi O=U
iii) pour O, U, V, d(O, U) <= d(O, V) + d(V, U)
3- Soit (O_n) une suite d'ouverts de [0,1]
Montrer qu'il existe une sous-suite de (O_n) convergente pour la métrique d.
Déroulé
J'ai pu faire les deux premières questions, la première à peu près seul (je l'avais déjà faite auparavant). Pour la deuxième question, le plus dur est la propriété ii), on a examiné un cas simple et accepté la caractérisation suivante dans le cas général :χ _O(x) = 0 ssi x n'appartient pas à O, ce qui permet d'avancer et même de conclure.
Je n'ai pas eu le temps de faire la troisième question, mais c'était ici qu'il fallait utiliser la question préliminaire.
Le temps est passé assez vite, quand même.
Lucie a aussi eu le même exercice juste après moi, avec le même examinateur.
Mar 11 Juil - 21:17