J'ai eu une examinatrice assez sympathique, avec qui la discussion démarre dès le début de l'oral.
Pour l'exercice : des probas !
Si X et Y sont des variables aléatoires à valeurs dans Z, on note :
d(X,Y) = somme sur k∈Z |P(X=k) - P(Y=k)|
1) Montrer que d(X,Y) = 2 sup sur A partie de Z de |P(X∈A) - P(Y∈A)|
2) On prend (X_i,Y_i) une suite de couple de variables aléatoires indépendantes de même loi avec X_i à valeurs dans {0,1} et Y_i à valeurs dans N.
On a P(X_i=k,Y_i=n) = 1-p si k=n=0
exp(-p)*p^n/n! heu ...
Bon je me souviens plus de toutes les valeurs, la question était simple :
Trouver les lois de somme de 1 à n de X_i, et pareil pour la somme des Y_i
On trouve des lois de Bernoulli de paramètre p pour les X_i et des poissons de paramètre p pour les Y_i, donc on fait une somme indépendante etc ...
3) On prend X de loi binomiale de paramètre (n,p) et Y de loi de Poisson de paramètre np.
Montrer que d(X,Y) <= 2np²
Indication : Montrer que d(X,Y)<= 2 P(X=!Y)
Jeu 6 Juil - 19:05