Examinateur assez froid mais qui m'a mine de rien pas mal aidé.
l'exo:
soit f C_1 de R dans R+*;
on suppose que
pour tous x1,...,xn
Max pour theta dans R des produits pour i allant de 1 à n des f(xi - theta) = produit pour i allant de 1 à n des f(xi - moyenne arithmétique des xj)
Montrer que f s'écrit C*exp(-lambda * x²) avec C dans R+* et lambda dans R+
- Indication au bout de 3 minutes:
passer au log
- chose à faire:
utiliser le TCL: on veut montrer que f'(x)/f(x) = -Dx avec D>=0
- Chose à faire 2:
Traduire le max avec une dérivée nulle après être passé au log, on trouve une relation sur h = f'/f
Montrer que h est additive dans R
- Spoiler:
par exo classique h est linéaire et on a le résultat (on a le signe de D en réinjectant dans la forme de f car si le signe n'est pas le bon la fonction est non bornée et le max n'existe pas)
2) traiter le cas où f est seulement D_1
en fait cela revient à montrer le lemme suivant: su u est D_1 et u' est additive alors u' est C_0
- Bambino:
considérer à y fixé : v(x) = u(x+y)-u(x)
Jeu 6 Juil - 18:48