Bonjour,
J'ai eu un oral de géométrie avec le généreux examinateur qui donne des chocolats. Avec lui, le but de l'oral est moins de résoudre l'exercice posé que de discuter et de proposer des idées.
Question 1
On munit R^n d'une norme, et on s'intéresse au groupe Iso des isométries vectorielles pour cette norme. Donner des exemples de normes pour lesquelles Iso est fini, infini et distinct du groupe orthogonal.
Question 2
Si Iso est infini peut-il être dénombrable ? (Question subsidiaire : existe-t-il des sous-groupes dénombrables du groupe linéaire ?)
Question bonus (rien à voir avec ce qui précède)
On prend f de l'intervalle [0,1] intersecté avec l'ensemble des rationnels vers R, continue.
f est-elle bornée ?
Pour la question 1, on constate que le groupe orthogonal correspond au cas d'une norme euclidienne. Il s'agit donc de travailler avec des normes non euclidiennes, par exemple la norme infinie, ou la norme 1.
Ici, l'important est de s'intéresser tout d'abord à de petites valeurs de n, et de faire des dessins, beaucoup de dessins. On a travaillé sur la norme infinie dans le plan. J'ai commencé par tracer la sphère unité pour cette norme, qui se révèle être un carré. Alors, toute isométrie laisse stable ce carré. On constate que cela contraint les rotations et les symétries au groupe diédral, car sinon, les sommets du carré ne sont pas globalement stables. Alors, on s'est demandé si une isométrie qui laisse stable le carré unité laisse globalement stable ses extrémités. La réponse est oui ! Sous l'action d'une application linéaire, une droite donne une droite. Donc les supports des côtés du carré sont globalement stables, et donc leurs intersections aussi. Dans ce cas, il n'existe qu'un nombre fini d'images possibles pour deux sommets distincts du carré, et comme ces deux vecteurs forment une base du plan, il n'y a qu'un nombre fini d'isométries.
L'examinateur ne m'a pas demandé beaucoup de preuves techniques. Il voulait la stratégie de la démonstration, et une idée précise de la démonstration de chaque point. Que serait-il utile d'avoir comme résultat intermédiaire pour aboutir à un résultat fort ? Comment démontrer ce point de manière simple, en utilisant un dessin (dans la plupart des cas) ?
Il m'a ensuite rapidement demandé comment obtenir un groupe Iso infini mais distinct du groupe orthogonal en dimension 3, ce qui ne m'a pas inspiré...
Pour la deuxième question, il m'a tout d'abord demandé s'il était possible de construire un sous-groupe dénombrable du groupe linéaire. Pour cela, on peut se ramener à un sous-groupe additif dénombrable, comme Z, en passant par l'exponentielle. Le groupe des e^k*I_n convient par exemple. J'avais commencé par proposer le groupe des e^{k*A} où A est une matrice à choisir, mais cela pose plus de difficultés, notamment pour montrer que ce groupe est infini. Il y a alors une condition sur le spectre de A.
Ensuite, l'examinateur m'a demandé quelles propriétés générales Iso pourrait avoir. On montre qu'il est fermé (passer par une suite), borné, donc compact en dimension finie. Nous ne sommes pas allés plus loin sur la dénombrabilité.
L'examinateur a fini par me poser la question bonus dans les cinq dernières minutes. J'ai eu une intuition fausse, et l'examinateur m'a laissé parler. Je voulais rapprocher la continuité sur Q et sur R pour gagner le théorème de compacité, ce qui est impossible ! Après la fin de l'oral, je lui ai demandé la solution. La réponse est donc NON. Il suffit de prendre f(x) = 1/(x-1/2^(1/2)), continue partout sauf en un sur racine de 2, donc continue sur Q, mais non bornée au voisinage de un sur racine de 2.
Mathieu Rasson
Mer 28 Juin - 18:49