17-juste-emilie
Messages : 18
Date d'inscription : 02/09/2015
 | Sujet: Maths ULCR Juste  Mar 4 Juil - 12:49 | |
| Examinateur très gentil et souriant (je suis passée en salle Henri Cartan 2). Exercice: Soient E, F deux espaces vectoriels normés. On dit que t une application linéaire de E dans F est compacte si pour toute suite (u_n) bornée de E, la suite ( t(u_n)) ) admet une sous-suite convergente. 1) Mq t compacte => t continue 2) Réciproque? - Spoiler:
Ok en dim finie, par l'absurde en dimension infinie avec l'identité et une suite bornée sans valeur d'adhérence (redémontrer l'existence)
3) On prend N1, N2 et N3 trois normes sur E telles que IdE soit - compacte de (E, N1) dans (E, N2) - continue de (E, N2) dans (E, N3) Mq pour tout e >0, il existe c_e > 0 tq N2 <= e*N1 + c_e*N3 - Spoiler:
Par l'absurde, en séquentialisant c_p = p pour p entier, en prenant la suite x_p associée et en étudiant la suite normalisée pour N2 : y_p = x_p/ N2(x_p)
|
|
17-Andler
Messages : 9
Date d'inscription : 21/09/2016
| | Sujet: Re: Maths ULCR Juste Mar 4 Juil - 14:08 | |
| J'ai eu le même exercice avec comme 4ème question: donner un exemple d'une application t compacte de E dans F avec E et t(E) tous les deux de dimension infinie |
|
