Maths Lyon Thibault G.

Dernier oral de maths de la semaine ENS avec l'oral de maths Lyon. J'ai encore eu droit à deux auditrices de LLG.

Exercice:
Soit (an) et (bn) deux suites réelles qui vérifient les hypothèses suivantes:
(1) Elles sont chacune dense dans R
(2) Chacune est injective
Montrer qu'il existe f fonction de R dans R telle que:
(i) f est un difféomorphisme de R dans R
(ii) f((an)) est inclus dans (bn)

J'ai eu beaucoup de mal à avancer, avec un examinateur pas du tout loquace. J'ai essayé de proposer des choses (traiter un cas particulier mais c'est pas évident d'exhiber des suites qui conviennent...), et vu qu'il ne réagissait pas j'ai commencé à créer un procédé de construction (qui ne marchait pas). Il m'a laissé m'enfoncer sans répondre à mes propositions pendant une trentaine de minutes.

Il m'a enfin donné une indication:

Spoiler:

Je savais pas trop comment utiliser cette indication, j'ai mit un peu de temps avant de trouver un procédé de construction permettant d'obtenir une fonction qui commençait à ressembler à quelque chose (à l'aide d'une série de fonctions). En choisissant bien les fonctions de la série, on peut s'arranger pour créer une fonction C1 qui convient, mais je n'ai pas eu le temps de la modifier pour qu'il s'agisse d'un difféomorphisme.

L'examinateur ne parlait donc pas (ou très peu), et ne semblait pas intéressé par les idées que je proposais, il semblait même s'en moquer par moments, ce qui n'est pas très bon signe...