Exercice 1:
Pour A,B dans Mn(C), on note [A,B]=AB-BA
On suppose que [A,[A,B]]=0. Montrer que [A,B] et nilpotente.
Solution :
On note D endomorphisme de Mn(C) tq D(B) = AB-BA
L'hypothèse se traduit par D^2(B)=0. En remarquant que D(XY)=D(X)Y+XD(Y), on a une formule style Leibniz. On montre alors D^n(B^n)= n! D(B)^n
Et D^(k+1)(B^k)=0.
Donc en observant D^n(chiB(B))=0 (chiB étant le polynôme caractéristique de B), il ne reste que le terme en B^n, soit n! D(B)^n=0, CQFD
Exercice 2 :
On considère A une partie de N
Étudier le lien entre
(i) série des 1/n pour n dans A converge
(ii) (1/n)Card(A inter [1,n]) tend vers 0 en l'infini
Éléments de réponse :
Pour (i) implique (ii) , en observant une tranche de Cauchy entre n et 2n, on maîtrise le cardinal entre n et 2n pour tout n. On maîtrise donc entre n et 2n, n et n/2,... Et ainsi on peut se rapprocher de 0 (l'examinateur m'a simplement fait expliquer le raisonnement "avec les mains").
(ii) implique (i) est fausse, j'ai proposé pour A l'ens des parties entières de n ln n. La série diverge et pourtant 1/n Card (A inter [1,n]) tend vers 0 (encore une fois il ne m'a pas demandé de justifier proprement).
Mar 1 Aoû - 10:29