Maths ULCR Lescure

est fermé.
3) (Il restait 2 minutes) Trouver un F tel que I n'est pas fermé.
[spoiler="Indication pour la 1"]Normalement pas de probleme pour montrer l'inclusion de I dans cet intervalle. Pour le fait que c'est un intervalle, montrer que c'est l'image d'un connexe par arc par une application continue (par rapport à une norme bien choisie)

Si F est une droite, I est un singleton. Sinon, F\{0} est cpa. L'application de F\{0} dans R qui à f associe ce quotient est continue pour la norme infini, car le numérateur est continu et le dénominateur aussi car 1-lipschitzien.

Commencer par traiter le cas où F est de dimension finie. Il se trouve que l'hypothèse permet de montrer que c'est le cas.

On introduit le produit scalaire canonique de E. Si K=C, on prendrait le produit hermitien mais quand j'ai dit ça l'examinateur a dit "On va se placer dans R. Au diable les barres"... Ça ne joue pas dans la suite du raisonnement. On va maintenant montrer que les familles orthonormées sont de taille majorée, ce qui montrera que F est de dim finie. Pour ça on prend (f1,...,fN) une FON.
On pose maintenant g_{t} la somme pour n allant de 1 à N de fn(t)*fn.
Par hypothèse il existe a>0 tq a||.||∞<=||.||2.
On écrit ag_t (t)<= a||g_t||∞<=||g_t||2, en se rappelant que la famille (fn) est orthonormée.
On garde ag_t (t)<=||g_t||2, on passe au carré, on intègre pour t parcourant [0,1] et on obtient une majoration de N.

J'ai cru comprendre que l'examinateur lui-même n'avait pas d'exemple. J'ai rapidement essayé avec R [X] mais je n'ai rien trouvé de concluant.