On admet le lemme suivant : si u_n est une suite positive avec u_(n+m)<=u_n+u_m alors (u_n)/n tend vers inf des (u_k)/k
Soit f de R2 dans R2 1-lipschitzienne pour la norme euclidienne (il m'a rappelé la définition mais je pense que vous connaissez). Mq ( f^n(x)/n) (composée n ieme de f) converge pour tout x
- petite remarque:
On remarque qu'avec le lemme, norme( f^n(x)/n) tend vers une limite A. Si A = 0, c'est plié.
Là il me dit: réduisons le pb. On suppose que l'on a x tq f^n(x)/n cvg vers l(x). Que peut-on dire de l?
- Spoiler:
alors l(y) existe et l(y)=l(x) pour tout x != y
On se réduit donc à étudier f^n(0)/n. Il me laisse un peu patauger puis me propose une indication ("à moins que vous n'ayez une idée?"). La voici (pas cachée parce que ç a ne s'invente pas. Mq il existe u de norme 1 avec pour tout n, <u,f^n(0)><= -An.
Là j'essaie 2-3 trucs, ça ne marche pas et donc il me propose d'admettre ce résultat pour l'instant et de voir si on peut conclure.
- La conclusion:
On prend l une valeur d'adhérence de f^n(0)/n, on passe à la limite dans l'inégalité : <u,l><=-A or avec Cauchy-Schwartz |<u,l><=A. Donc il y a égalité donc l=-uA donc uniquement déterminée
Pour montrer le résultat intermédiaire, il me propose de trouver la limite à k fixé de norme(f^k(x)-f^n(x))-norme(f^n(x)).
L'oral s'est arrêté peu de temps après.
Lun 10 Juil - 20:46