Oral avec le fameux examinateur aux chocolats au fin fond de l'ENS, très sympathique comme d'autres que moi l'ont déjà expliqué.
Le premier exercice consistait à prendre deux matrices symétriques réelles à valeurs propres >= 1, montrer que AB est à valeurs propres réelles>= 1.
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On prend la racine carrée de A H et on a AB = H(HBH)H^(-1) et on applique le théorème spectral sur HBH.
Petit détail marrant : j'ai dû redémontrer le théorème spectral donc soyez au point sur votre cours aux ENS !
Ensuite on s'est intéressé aux spectres respectifs de AB et BA où A et B sont désormais complexes quelconques. mes souvenirs sur le sujet étaient vagues, on était aux frontières du programme et j'ai essayé de me ramener aux cas cotrigonalisables par densité. Il m'a alors fait montrer que les couples de matrices codiagonalisables n'étaient pas denses.
- Spoiler:
On raisonne par l'absurde en prenant une suite tendant vers un couple ne commutant pas
Puis on s'est demandé si un résultat similaire existait pour les matrices cotrigonalisables. j'ai d'abord montré qu'il existait des couples non cotrigonalisables (dans le cas n=2 où j'ai pris A et B avec des 1 sur la diagonale et un 1 un haut à droite et en bas à gauche respectivement).
On a alors laissé l'algèbre linéaire de côté et on a considéré dans le temps qui restait une suite (u_n) strictement positive qui tendait vers 0. On veut construire (v_n) décroissante convexe (c'est-à-dire que (v_n - v_{n+1}) est décroissante) qui tend vers 0 avec à partir d'un certain rang u_n <= v_n.
- Spoiler:
J'ai commencé par faire un dessin et j'ai naturellement dessiné u_n décroissante à partir d'un certain rang. Du coup j'ai posé alpha_n telle que alpha_n = Sup{u_k | k >= n} pour avoir une suite monotone. Ensuite j'ai voulu comparer u_n et 1/n vu que la suite harmonique est convexe ("ça se voit"). J'ai donc posé a_p = max{k | u_k >= 1/p} qui est définie à partir d'un certain rang et tend en croissant vers l'infini. On fait alors un dessin et on voit que v_{a_p} = 1/p ne fonctionne pas forcément. J'ai donc proposé en regardant le dessin de construire par récurrence une suite b_p telle que b_p >= a_p et b_{p+1} - b_p >= b_p - b_{p-1} et on pose v_{b_p} = 1/p et on complète (v_n) en prenant des affines par morceaux entre les b_p. Si vous avez rien compris c'est normal l'exercice demande vraiment de faire des dessins. Il m'a cru sans me demander de formaliser la construction des b_p vu qu'on arrivait au bout.
En conclusion il m'a demandé si j'avais des questions sur l'ENS (d'ailleurs si ça intéresse quelqu'un il y a depuis peu de temps des doubles cursus avec diplôme d'ingénieur en 4 ans entre Ulm et les Mines, c'est toujours sympa à savoir). J'ai un assez bon ressenti, l'examinateur était très sympathique ("l'oral est un prétexte à la discussion mathématique"). Ma solution est incomplète pour le premier exercice parce que je ne suis pas vraiment sûr de ce que j'ai écrit (je crois qu'il m'a fait confiance
), par contre si vous avez des questions sur le deuxième exercice, n'hésitez pas à demander des précisions !
Mer 5 Juil - 15:39