Maths ULCR Lefki

Epreuve 3 : Maths ULCR

Et moi qui me plaignais de Maths CR ... Là, j'ai eu droit à un remix de mon oral de maths des Mines de l'an dernier, mais version hardcore.

I/ Les auditeurs

Il y a approximativement 3 fois plus d'auditeurs que de candidats dans le couloir, les oraux des ENS donnent vraiment aux sups l'envie de venir. A leur place je serai parti en vacances

En entrant dans la salle, il y avait 3 auditeurs (des sups de Janson) assis au fond, l'examinateur me dit que j'ai totalement le droit de refuser leur présence, mais j'ai accepté de les avoir, de toute façon, on les oublie très très rapidement.

II/ Premier exo : Faire croire qu'on a compris quelque chose aux maths

Bon, j'arrive, je signe, et il me donne l'exercice suivant : "Pour G un groupe et X un ensemble quelconque inclus dans G, on appelle centralisateur de X dans G l'ensemble {g dans G tq pour tout x dans X, gx = xg}. Montrer que, dans le cas G = GLn(K), il existe un sous-ensemble X_0 inclus dans X, fini, tq les centralisateurs de X et X_0 soient égaux."

La grande difficulté de l'exercice vient du fait qu'on ne dispose d'aucune structure sur X. J'ai essayé n = 2, mais ça ne change strictement rien ni aux techniques à utiliser, ni au fait qu'il est quasiment impossible de s'imaginer à quoi pourrait ressembler cet ensemble. L'examinateur m'a d'ailleurs assez rapidement conseillé d'abandonner cette idée, en me disant qu'elle ne peut rien m'apporter d’intéressant.

Je propose malgré tout la chose suivante : Si j'arrive à faire l'exo pour X = G, alors j'aurai de bonnes chances d'y arriver avec X quelconque, parce que si on arrive à réduire le plus gros ensemble possible à un ensemble fini, on pourrait y arriver avec un ensemble plus petit. Il tente de masquer un sourire encore plus visible que mon manque de niveau en algèbre, puis me laisse faire 2 minutes avant de me déconseiller de prendre cette voie, me disant que je risque fortement d'utiliser des propriétés structurelles de GL_n qui ne se retrouveraient pas dans X quelconque, tout en précisant que mon idée est "loin d'être absurde".

Il arrive donc à la première indication :

Spoiler:

Je suis son indication, et explique que le centralisateur est en réalité une réunion de Ker f_M où f_M est l'application A |--> AM - MA. Et là il m'arrête, en me disant d'être
TRES vigilant au Ker que j'utilise, sachant qu'on manipule à la fois des groupes et des algèbres (et que les Ker des applications linéaires ne sont pas ceux des morphismes de groupes pour GL_n). Il s'est même permis de me rappeler que GL_n n'est pas un ev

A la place, il me donne une deuxième indication :

Spoiler:

C'est un peu plus simple ici, car on peut utiliser librement les Ker sans risques de confusion, et on atteint ensuite le résultat grâce au petit lemme (qu'il m'a pas vraiment demandé de redémontrer) :

Spoiler:

A partir de là, il m'a demandé comment arriver à GL_n, puis 30 secondes plus tard, je me saisis de la plus belle craie pour écrire avec délicatesse sur le tableau

Spoiler:

Et ainsi, on termine l'exercice 1 assez rapidement. En tout cas suffisamment rapidement pour qu'il puisse pleinement se rendre compte que je suis nullissime en algèbre générale.

III/ Deuxième exo : Bah en fait on a rien compris aux maths

Bon, c'est à ce moment là que ça se gâte. L'examinateur me précise que cet exercice n'a rien à voir avec le premier et qu'il est totalement indépendant de celui-ci. L'exercice est "soit G un groupe fini non réduit au singleton élément neutre, tq les éléments non neutres de G sont tous conjugués les uns aux autres (ie si x,y non neutres, il existe g dans G tq gx = yg). Mq G est isomorphe à Z/2Z".

Je commence à vouloir raisonner par l'absurde en introduisant 2 éléments x,y distincts et différents du neutre. Je crée une suite pas récurrence, et il me conseille d'abandonner cette idée, qui selon lui donnerai des calculs inextricables. Il me donne donc l'indication

Spoiler:

Et là, catastrophe, j'y arrive absolument plus, je tente des chose qui n'amènent à rien du tout, je me perds sans arrêt dans des calculs, et surtout, le pire (qu'il a parfaitement résumé par la formule "ah, vous n'avez peut-être pas l'habitude de manipuler des opérations de conjugaison dans un groupe" après mon essai de conjuguer x et lui-même ), c'est que je n'ai pas remarqué (enfin je l'ai remarqué beaucoup trop tard) qui si x,y sont conjugués, alors ils ont le même ordre. Remarque qui trivialise pas mal de choses dans l'exo.

Après cette indication, je me refais bien aider pour montrer que cet ordre (commun à tous) est bien 2. Mais bon, on avait plus le temps pour le faire.

IV/ Mes impressions

J'ai bien fait de demander les ENS sur dossier

Plus sérieusement, l'épreuve était difficile, un combat de tous les instants face à l'examinateur, avec un exercice sur lequel il est parfois très difficile de proposer des trucs et de ne pas rester planté là à rien faire. Dans tous les cas, c'est 45 minutes dans une vie, il ne faut juste pas du tout céder à la tentation du "je fais semblant de réfléchir mais en vrai j'attends juste de l'aide" et se forcer à chercher des trucs, quelqu'ils soient. Parce que ça m'a permis de faire sortir des idées en lesquelles je croyais peu et qui, finalement, se sont montrées pas du tout mauvaises.

L'examinateur était assez muet dans le 1er exo, j'avais l'impression de parler dans le vide, surtout au début quand je donne des idées pour démarrer et qu'il n'y réponds pas. Par contre au deuxième il devait m'aider toutes les 5 minutes parce que j'étais incapable de faire l'exo moi-même.

Au pire, c'est pas comme si cet oral comptait pour toutes les ENS

PS : Faudrait vraiment que j'arrête de mettre des pavés à chaque fois, surtout si personne n'ose les lire ^^

Résultat : 12 (on a qu'à dire qu'au début j'ai fait un peu bonne impression ^^)