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 Maths ULCR F.Pan

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17-franck.pan



Messages : 3
Date d'inscription : 04/09/2016

MessageSujet: Maths ULCR F.Pan   Mer 21 Juin - 21:20

L'exercice que j'ai eu est :
Soit d en entier non nul, f une application de Z^d dans R
def : f est harmonique ssi pour m dans Z^d, f(m)= (Somme pour i=1 à d de [f(m+e_i)+f(m-e_i)] ) / (2d)
où (e_i) est la base canonique de Z^d
(on peut interpréter ça par f(m) est la moyenne de l'image des points autour)

le but et de montrer que si f est harmonique et bornée, alors elle est constante.

Il m'a posé plusieurs questions pour démontrer ça :
1) cas pour d=1
2) on pose, pour h dans Z^d,  Delta(h)=sup{f(h+m)-f(m)} où m décrit Z^d
Montrer que pour tout h, Delta(h) positif.
3) Montrer que Delta(e_1) négatif

je me suis arrêté ici pour l'exercice.

Indication :
pour la 2) : montrer que f(k.h) tend vers -infini quand k tend vers +infini

pour la 3) : soit epsilon>0, il existe n_epsilon dans Z^d tel que : Delta(e_1)-epsilon < f(e_1+n_epsilon)-f(e_1) <= Delta(e_1)
Il fallait utiliser cette relation, mais je ne savais pas comment.  

Il m'a ensuite demandé comment démontrer la résolution des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (car je les ai utilisées dans la première question), puis il m'a demandé ce que je pensais de la dimension de l'espace des fonctions harmoniques, et ça s'est arrêté là.
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