Maths ULCR Vaille

Oral en R à Ulm avec une examinatrice très gentille qui n'hésitait pas à donner des indications et à pas mal guider.

1) On considère K un surcorps de C vu comme C-espace vectoriel de dimension au plus dénombrable (il existe un système générateur au plus dénombrable), montrer que K = C.

Indication:

Indication:

2) On suppose désormais qu'il existe un morphisme d'algèbre surjectif phi de C[X1,...,Xn] dans K. Montrer que K = C puis qu'on a (x1,...,xn) dans C tel que pour P dans C[X], phi(P) = P(x1,...,xn).

3) On considère A un anneau et I un idéal propre de A. Pour a dans A on nomme a+I = {a + i | i dans I}. On pose Q = {a + I | a dans A} qu'on munit de deux lois : (a+I) + (b+I) = (a+b) + I et idem avec *. Montrer que A est muni d'une structure d'anneau (attention à montrer que les lois sont bien définies, a + I peut s'écrire a' + I avec a' != a). Puis on considère Pi de A dans Q qui à a associe a + I et montrer que Pi est un morphisme surjectif d'anneaux. Puis montrer que Q est un corps si, et seulement si, I est maximal au sens de l'inclusion.

J'ai à peine commencé la question 3 dans laquelle on est rapidement passé à l'équivalence ou j'ai donné les idées à l'oral pour le sens direct (raisonnement par l'absurde, on prend un autre idéal I'dans lequel I est inclus strictement et on prend i dans I'\I puis on considère i + I sur lequel on applique la surjectivité). Elle m'a pas mal aidé et n'était jamais désagréable, l'oral s'est relativement bien passé.