Maths Cachan-Rennes Thibault G.

Les questions que j'ai écrites sont peut être approximatives (les commutateurs et les questions calculatoires c'est pas évident de retrouver après coup).

On prend deux matrices qui commutent avec leur commutateur ([A,B]). ([A,B]=AB-BA)

Montrer que:

1) exp(tA)[A,B]=[B,A]exp(tA)
(Il m'a demandé en 2 minutes de remonter que l'exponentielle de matrice est bien définie et continue)

2) Montrer que exp(tA)Bexp(-tA)=B + t[A,B]

Spoiler:

3) Montrer que exp(A)exp(B)=exp(A+B+(t^2)/2 [A,B])

Spoiler:

4) Montrer que Vect(A,B,[A,B]) est un espace vectoriel de dimension 3 si [A,B]!=0

Spoiler:

5) on note Mi=xi A + yi B + zi [A,B]
Pour i=1 et 2
Montrer qu'il existe M3 dans Vect(A,B,[A,B]) tel que
exp(M1)exp(M2)=exp(M3)

Spoiler:

6) Que définit-on ainsi avec l'application qui à deux points M1 et M2 renvoie M3?

Spoiler:

Examinateur très gentil qui vient effacer le tableau à la fin pour gagner du temps pendant que je continuais à écrire. J'ai aussi eu le droit à la petite présentation des magistères après l'oral.