Maths Cachan/Rennes - M.Lecroq

Bonjour à tous !

Une examinatrice assez jeune et très sympa, qui réagit à ce que l'on écrit tout en laissant le temps de se corriger ou de chercher une idée tout seul.

Elle m'a d'abord demandé de montrer qu'une matrice possédant n valeurs propres distinctes est diagonalisable, et d'exprimer P et D. Cependant, elle m'a demandé de n'utiliser aucun des outils du cours, à savoir ni polynôme caractéristique, ni somme directe des sous-espaces propres, ni théorème de décomposition des noyaux... Je dois avouer que je n'ai pas vraiment compris où elle voulait en venir, d'autant plus qu'elle ne voulait pas que je redémontre les propriétés du cours, nous sommes donc finalement passées à l'exercice.


L'exercice était donc:

On considère une matrice réelle A carrée de taille n, possédant n valeurs propres distinctes (d'abord supposées positives et ordonnées). Si X0 est un vecteur de R^n, on définit la suite X_n+1=AX_n
Etudier les limites quand p tend vers l'infini des suites X_p/||X_p|| (où ||.|| est la norme 2) et T(X_p)AX_p/||X_p||^2 où T(X) est la transposée de X .
Puis la même chose en n'ayant plus l'hypothèse de positivité sur les valeurs propres.

Elle ne m'a pas vraiment donné d'indication et m'a laissé prendre des initiatives, tout en corrigeant les éventuels oublis ou erreurs d'inattention.

Une indication:

Spoiler:

Astuce à laquelle il fallait penser:

Spoiler:

Le passage au cas des valeurs propres quelconques se fait quasiment de la même manière.

Elle a eu l'air assez satisfaite que je finisse l'exercice, puis m'a posé en m'assurant qu'il n'y aurait aucune conséquence sur l'oral des questions sur ce que j'envisageais pour l'avenir. Elle m'a ensuite parlé de l'admission sur dossier pour les ENS en disant que c'était important d'en parler autour de nous car la démarche n'était pas assez connue...Je fais donc un peu de pub en son nom  

Tu tombes sur quoi ?
J'ai trouvé que ça converge tout le temps vers un truc s'exprimant en fonction des composantes de X0 dans une base de vecteurs propres.
C'est pas esthétiquement très attrayant d'où cette question.

Oui effectivement ça dépend de ces composantes, ou plutôt de leur signe ! C'est vrai que c'est assez étonnant, mais ça n'a pas eu l'air de choquer l'examinatrice, donc...