Math Cachan Rennes Frigerio

Encore de l'analyse aujourd'hui, enfin avec un peu plus de topologie tout de même.

On considère E = { f C1 T périodique de moyenne nulle }
On prend u un polynôme trigonométrique de E
Calculer Intégrale de 0 à T (|u|^2) et Intégrale de 0à T de |u'|^2

réponse:

en déduire une inégalité entre ces deux intégrales :

réponse:

Cette inégalité est elle vraie en dehors de E? la constante est elle optimale ?

réponse:

On veut étendre ce résultat pour tout f dans E. Comment faire ?

réponse:

J'ai dit qu'il faudrait mieux approcher la fonction dérivée de f, plutôt que f, parce qu'il ya aucune chance que d'avoir convergence d'une suite de fonction dérivé. Elle a dit que ça marcherai et que c'était une bonne idée, mais qu'elle voulait que je le fasse autrement pour la suite de l'exercice. Elle m'a dit qu'on allait utiliser une version renforcé du théorème de Weierstrass. En gros, elle m'a dit qu'on pouvait approcher une fonction périodique de moyenne nulle par des polynôme trigo de moyenne nulle. De plus, elle m'a dit que les polynômes trigonométriques sont denses dans E pour la norme h1 suivante : racine(intégrale u^2 + u'^2)
Et la c'est le drame... parce que je m’embrouille pour montrer que l'inégalité précédente est vrai, j'ai du mal à dire que ça marche pour la fonction est sa dérivé... alors que c'est pas difficile.
Bref je fini par m'en sortir... et elle me dit que c'est presque fini. Elle me demande ce qu'est E

réponse:

Finalement, je pense pas avoir raté cet oral, mais j'avoue que ce petit passage à vide au milieu m'inquiète, il y avait moyen de bien réussir et bon, ce sera pas flamboyant, tant pis !