Examinatrice sympathique mais qui n'était pas très attentive (j'ai dû lui expliquer à plusieurs reprises certaines idées).
Oral d'algèbre général.
1) On prend s une involution de Sn. Quel est le cardinal du centralisateur de s (i.e l'ensemble des éléments qui commutent avec s)
- Spoiler:
On fait comme ce qu'on a fait pendant la préparation aux oraux et on trouve 2^k*k!*(n-2k)! avec k le nombre de transpositions de s dans sa décomposition en cycle disjoint
2) Soit f un automorphisme de Sn. n !=6. Montrer que f envoie les transpositions sur les transpositions.
- Spoiler:
On remarque d'abord que f(t) est une involution où t est une transposition.
L'idée est alors de montrer que le cardinal du centralisateur de f(t) est celui d'une transposition. Ca se fait bien puisque le cardinal du centralisateur de f(t) est celui du centralisateur de t car f est un automorphisme. Ensuite il faut montrer que si le cardinal du centralisateur est le même que pour une transposition c'est que l'application est une transposition ( ce qui est vrai pour le cas n!=6). Pour ça on écrit l'égalité de cardinaux et ça marche bien avec des considérations arithmétiques
Et c'est tout, j'ai pas fait plus de questions mais l'examinatrice n'était pas du style à essayer de me faire avancer. Elle attendait plutôt que ça passe en me faisant répéter mes argumentations et mes notations.
Jeu 29 Juin - 16:28