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 Maths CR Saghrouni

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17_SaghrouniHichem



Messages : 23
Date d'inscription : 10/06/2016

MessageSujet: Maths CR Saghrouni    Mer 12 Juil - 12:05

Exercice

On pose la fonction suivante :
phi : R^4 --> R
(x, y, z, t) |--> x(exp(-t) - 1) - yt + z

1- Montrer que pour tout x, y, z tq xy>0, il existe t tel que phi(x, y, z, t) = 0

2- On pose f : R^3 --> R, (x, y, z) |--> exp(-inf{t ; phi(x, y, z, t) = 0})
Montrer que f est continue.

3- On admet que f admet des dérivées paetielles selon x, y, z.
Calculer les dérivées partielles de f.

4- Montrer que les dérivées partielles de f sont bornées.

Déroulé

C'était une vraie discussion, en tout cas plus que pour Maths ULCR et Maths Lyon.

Pour la première question, pas d'indication particulière, je l'ai faite en considérant phi à x, y, z fixés, et en étudiant la fonction à une variable résultante.

Pour la deuxième question, on se place en pratique sur (R+)^3, on n'a pas vraiment regardé les autres cas. On a simplement dit que si l'ensemble dont on veut prendre l'inf était vide, on prend par exemple 0. Il m'a aussi dit que en général, on peut prendre +infini pour l'inf d'un ensemble vide.
Sinon on prend un point (x, y, z) et on prend des suites x_n, y_n, z_n qui tendent vers x, y, z; t_n le zéro correspondant et on on veut montrera que t_n tend vers le t de x, y, z. On montre que t_n est bornée et admet une unique valeur d'adhérence.

Pour la troisième question, on dérive l'expression phi(x, y, z, t(x, y, z)) = 0 par rapport à x, y, ou z, puis on trouve des expression des dérivées partielles de t qui nous permettent de trouver les dérivées partielles de f.
(t(x, y, z) est le t qui marche pour que phi soit nulle)

Je n'ai pas beaucoup avancé sur la quatrième question mais en gros, pour la dérivée partielle selon z (la plus simple) , il faut minorer le dénominateur en majorant t.
Indication : on considère le cas où x + y - z > epsilon.
On regarde donc phi, on trouve une fonction qui va être supérieure à phi dont on peut estimer le zéro et on aura une majoration de t(x, y, z) ce qui donne une minoration du dénominateur (je ne l'ai pas fait). J'imagine que ça doit être similaire pour les autres dérivées partielles.
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17-BruelTristan



Messages : 18
Date d'inscription : 01/09/2015

MessageSujet: Re: Maths CR Saghrouni    Mer 12 Juil - 12:48

Même exo, j'ai étudié la continuité de f avec les mains ce qui m'a permis d'aller un peu plus vite et de traiter la dernière question, c'est exactement comme l'a présenté Hichem on minore le dénominateur (on doit retrouver epsilon je crois) et pour les numérateurs on a des expressions style (polynôme en t)*exponentielle(-t) également bornées
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Maths CR Saghrouni
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