Examinateur un peu froid au début, mais plus sympathique après.
Exercice 1 :
On pose la fonction gamma classique (G) et il fallait montrer que pour tout t>0 :
G(t+s)/G(t) >= t^s si s \in ]-t,0]U[1,+\infty[
G(t+s)/G(t) < t^s si s \in ]0,1[
On commence par montrer la définition de G et le fait qu'elle ne s'annule pas. Il m'a proposé rapidement de montrer que ln o G est convexe (on l'a déjà fait, il faut d'abord montrer que G est C2, il m'a demandé les hypothèses complètes pour les théorèmes d'intégrales à paramètres).
Comment l'exploiter ? Il m'a fait poser une fonction auxiliaire f_t(s) = ln o G(t+s) - s*ln t. Elle est convexe et en 0 et 1 on a f_t(0) = f_t(1) = ln o G(t). J'ai fait un dessin et on voit directement les inégalités demandées sur les bons intervalles.
Exercice 2 :
Si P \in C[X], on dit que z est un point périodique s'il existe n tel que P o ... o P (z) = z, et on note A l'ensemble des points périodiques de P.
Montrer que :
- si A est indénombrable, alors P = X
- si A est borné, alors P = X
Pour la première, si on note A = U A_n avec A_n l'ensemble des points fixes de P^n (itéré n fois), on a forcément un A_n indénombrable donc infini, ce qui suffit pour dire que P^n = X. On peut conclure par un argument de point fixe pour le coefficient dominant et simplement pour la constante.
Pour l'autre, il faut supposer par l'absurde que P est de degré supérieur à 2. L'hypothèse implique que les racines de P^n - X sont toutes bornées par la même constante. Il ne restait pus beaucoup de temps, mais en gros il fallait comparer P à 2 par exemple et en déduire P^n par rapport à 2^nX et conclure sur le fait qu'il pourrait admettre des points périodiques aussi grands qu'on veut.
Ven 7 Juil - 0:22