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 Maths Ulm Recco

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17-recco-cyril



Messages : 15
Date d'inscription : 01/09/2015

MessageSujet: Maths Ulm Recco   Jeu 6 Juil - 23:40

Même examinateur aux chocolats.

Exercice : on dit que \sum_0^infty{a_kx^k} est un développement asymptotique de f en 0 si f(x) - \sum_0^n{a_kx^k} est un o(x^n) pour tout n en 0. Il fallait déterminer le développement asymptotique de \int_0^a{exp(-t/x)/(1+t) dt}, et montrer que c'est indépendant de a.

J'ai commencé par montrer que f est Cinf sur R+* et qu'on peut la prolonger en 0, pour pouvoir justifier l'existence du développement de Taylor. C'est en gros l'exercice classique avec exp(-1/x) plate en 0. Sauf qu'on ne peut pas exprimer les f dérivée k fois en 0 simplement (la relation de récurrence entre les polynômes à deux variables est un peu compliquée). Par ailleurs, on peut penser à de la convergence dominée puisqu'on est sur un compact mais la domination serait dépendante de t dont on ne peut déterminer l'intégrabilité.

Donc j'ai montré d'abord l'indépendance par rapport à a, en prenant g de la même manière mais avec un b. En considérant la différence, on peut montrer que c'est un o(x^n) pour tout n, donc le développement asymptotique est nul, ce qui prouve bien l'indépendance.

On peut donc prendre a < 1 et faire un développement en série entière de 1/(1+t), et intégrer les premiers termes mais pas le reste : on voit qu'on aura a_k = (-1)^k k! (c'est peut-être plutôt pour k-1 ça), qui ne converge pas... Pour justifier le o(x^n), on utilise le TSSA sur le reste avant d'intervertir avec l'intégrale, et on peut donc conclure.
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