J'ai commencé par maths Lyon, ça c'est pas hyper bien passé.
L'examinatrice était super sympa cependant !
Il s'agissait de trouver une suite (en) dans {-1,1} tel que la série entière
Somme e_k * a_k * x^k diverge sur tout son cercle d'incertitude.
Sachant que la suite des a_k est positive et décroissante et que la série des a_k^2 diverge.
J'ai pas brillé, elle m'a d'abord demander de trouver le rayon
- réponse:
c'est 1, il suffit d'utiliser la règle de D'Alembert
Déjà à ce moment, j'avais perdu beaucoup de temps à faire des manipulations par forcément utile.
Elle m'a demandé si je pouvait construire une suite pour que la série diverge en un point du cercle d'incertitude. On s'est placé dans le cas où la suite des a_k admet 0 comme limite.
Elle m'a demandé si je pouvait montrer l'inégalité suivante:
| Somme des e_k * a_k * exp(i*k*Theta) pour k allant de 0 à n | >= 1/2 Somme pour k allant de 0 à n a_k
Et l'oral s'est arrété une fois que j'y ai répondu
- réponse:
Il faut comprendre qu'on cherche une borne Sup (en fait un max puisque qu'on fixe n). On peut alors montrer que ce sup S est plus grand que Somme des a_k*|cos(k*theta)| en regardant la partie réelle de la somme à considérer . De même avec des sinus.
On a donc S >= Somme des ak (|cos(ktheta)| + |sin(ktheta)|)/2
Il reste a voir que |cos| + |sin| >= 1
Mar 4 Juil - 16:51