Bonjour, encore un oral d'analyse pour moi, sur les différentielles plus exactement :
Soit f de R^n dans R , C^1 , tq df soit injective et : f(x)\|x| (|.| est une norme non précisée) tend vers +infini quand |x| tend vers +infini.
Montrer que f est convexe, et que df est un homéomorphisme. On commencera par montrer que df est surjective.
Bon en fait j'ai pas fait beaucoup plus que la surjectivité à vrai dire ...
la partie "homéomorphisme", si j'ai bien compris ce qu'elle m'a dit à la fin, a l'air vraiment infaisable, je vous laisse vous concentrer sur le reste.
Comme d'habitude, faire le cas n=1 est très payant. Pour la surjectivité en tout cas, l'adaptation est presque immédiate.
Indication qui tue tout (pour la surjectivité):
- Spoiler:
Que dire de la différence de f avec une forme linéaire quelconque ?
Solution à l'indication qui tue tout :
- Spoiler:
La différence tend vers +infini en +ou- infini, d'où elle admet un minimum (l'examinatrice m'a demandé de le prouver, soyez prêts à faire ce genre de petites démos rapidement). On pense alors à dériver à cet endroit...
Indication pour la convexité :
- Spoiler:
On utilise la caractérisation "f est au-dessus de tous ses plans tangents" (on a montré en exo que ça marche comme pour le cas n=1). Pour ça, on reprend l'idée précédente en considérant la différence entre f et l'application linéaire tangente ; on montre que son minimum est atteint en un unique point. Il faut alors montrer que c'est le point qu'on veut, ce que je n'ai pas eu le temps de faire...
Indication pour le caractère homéomorphique :
- Spoiler:
Si j'ai bien compris ce qu'elle m'a dit, il suffit de montrer que |df_x| tend vers +infini quand |x| tend vers +infini ; comme df est continue, cela montre alors par contraposition que df échange les compacts avec les compacts, et il paraît que c'est suffisant pour montrer que c'est un homéomorphisme ... (j'ai été bien obligée de la croire)
Bon, heureusement l'examinatrice était gentille et d'humeur participative, ce qui a rendu cet oral moins pénible que ce que mes maigres résultats laissent supposer.
Une fois encore, bon courage,
Olivier