- Le lieu:
Le couloir de l'oral est situé dans une cave aux murs blancs. De nombreuses personnes attendaient, nous nous sommes regardés en chiens de faïence.
Mon exercice a porté sur des probabilités pendant cinq minutes, et a rapidement dérivé vers de l'analyse.
On se donne X,Y vard à valeurs dans Z.
On suppose X et Y indépendantes; X-Y et X+Y indépendantes.
Montrer que X et Y sont presque sûrement constantes.
Pour parvenir à ce résultat, on procède par étapes indiquées directement par l'examinatrice. Celle-ci m'a dit que j'avais le choix entre réfléchir et interagir directement.
On considère phi(t)=E(exp(itX)) et psi(t)=E(exp(itY)) (fonctions caractéristiques).
J'ai montré sans qu'on me le demande leur définition.
- Définition:
exp(itX) bornée
1) Montrer que phi et psi sont continues.
- Continuité:
On explicite l'espérance et convergence normale. L'examinatrice m'a demandé de justifier la sommabilité de (P(X=k)), j'ai dit que P est une probabilité, et X vard...
2)Montrer que phi(t+s)psi(t-s)=phi(t)psi(t)phi(s)psi(-s)
- Relation:
J'ai dit qu'on veut découper les espérances mais qu'on ne peut le faire directement car les variables considérées ne sont pas forcément indépendantes. Puis je rassemble les espérances par indépendance de X et Y, réorganise les exp, découpe l'espérance par indépendance de X+Y et X-Y, et redécoupe par indépendance de X et Y.
3)On considère f=ln|phi| et g=ln|psi|. Montrer qu'elles sont définies.
- Définition:
J'ai dit il faut et il suffit de montrer que phi et psi ne s'annulent jamais. Je dis que c'est compliqué de le voir par l'expression de phi, donc je regarde la relation. Je bidouille: avec s=-t, on obtient
phi(2t)=phi(t)phi(-t)psi(t)² (1).
J'en déduis que phi(t)=0=>phi(2t)=0.
Je dis que je préférerais phi(2t)=0=>phi(t)=0 pour conclure par continuité (j'explique pourquoi).
- Indication:
L'examinatrice me dit d'utiliser (1) et appliquer le même genre de raisonnement.
- Définition (fin):
En réalité on a phi(2t)=0 => (phi(t)=0 ou psi(t)=0), on construit ainsi tk->0 telle que pour tout k phi(tk)=0 ou psi(tk)=0. Pour une infinité de k, par exemple psi(tk)=0, et donc par continuité psi(0)=0=1 WTF.
On admet par la suite que f et g sont C².
4) En déduire le résultat. J'ai dit qu'on cherche à montrer que f=g=0, car c'est le cas si X et Y ps constantes.
Je passe au ln dans la relation du 2), j'obtiens une relation (2) en fonction de f et g.
- Indication:
Utiliser que f et g sont C².
- Moment de terreur:
Je dérive ln|phi|: phi'/phi. Elle a l'air très dubitative. Je sue à grosses gouttes, me disant que je me suis trompé dans la dérivation d'un ln. J'ai cru que j'allais me faire détruire imminemment. Puis elle me dit écrivez ça plutôt en fonction de f et g. Ouf.
- Relation entre f et g:
Je dérive (2) en fonction de t, puis fais un développement limité en fonction de s. On en déduit que f"=g". Donc f(t)=g(t)+At
- Indication:
Regarder la parité de f.
- Parité:
f est paire (raisonnement sur la conjugaison).
Par conséquent f=g.
- Le résultat:
J'injecte cette donnée dans (2) en testant s=-t, on obtient:
f(2t)=4f(t), d'où f(t)=4^k*f(t/2*k). Je fais un développement limité à l'ordre 1, mais f'(0)=0 car f' impaire. Il faut pousser à l'ordre 2, et on obtient f=At².
Pour que phi soit bornée, nécessairement A=0.
L'oral s'est arrêté là, mais je me suis dit que pour en déduire que X,Y ps constantes, on dit que phi est constante en module égale à 1, donc il y a égalité dans l'inégalité triangulaire, donc les exp(ikt)P(X=k) sont colinéaires de même sens (dans C) pour tout t, donc au plus un terme est non-nul, donc un terme est non-nul.
Mais ça me semble douteux de faire une inégalité triangulaire infinie.
Ressenti:J'ai eu pas mal d'idées, et eu relativement peu d'aide, sauf vers la fin où l'examinatrice a accéléré.
Mis à part le frisson sur l'histoire de dérivée, il n'y a pas eu d'accident.
Sur ce genre d'exercice, ça vaut le coup de tâtonner (surtout pour 4)), car avec un peu de chance, on trouve des choses intéressantes.
Mais comme le dit Jérôme Coup, on est très mauvais juge.
Ciao les ENS !