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 Rybaltchenko UlmLCR

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17-Sacha Rychenkabo

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Messages : 52
Date d'inscription : 26/09/2016

MessageSujet: Rybaltchenko UlmLCR   Ven 23 Juin - 18:26

Le lieu:
 

Mon exercice a porté sur des probabilités pendant cinq minutes, et a rapidement dérivé vers de l'analyse.
On se donne X,Y vard à valeurs dans Z.
On suppose X et Y indépendantes; X-Y et X+Y indépendantes.
Montrer que X et Y sont presque sûrement constantes.

Pour parvenir à ce résultat, on procède par étapes indiquées directement par l'examinatrice. Celle-ci m'a dit que j'avais le choix entre réfléchir et interagir directement.

On considère phi(t)=E(exp(itX)) et psi(t)=E(exp(itY)) (fonctions caractéristiques).
J'ai montré sans qu'on me le demande leur définition.
Définition:
 

1) Montrer que phi et psi sont continues.
Continuité:
 
2)Montrer que phi(t+s)psi(t-s)=phi(t)psi(t)phi(s)psi(-s)
Relation:
 
3)On considère f=ln|phi| et g=ln|psi|. Montrer qu'elles sont définies.
Définition:
 
Indication:
 
Définition (fin):
 
On admet par la suite que f et g sont C².
4) En déduire le résultat. J'ai dit qu'on cherche à montrer que f=g=0, car c'est le cas si X et Y ps constantes.
Je passe au ln dans la relation du 2), j'obtiens une relation (2) en fonction de f et g.
Indication:
 
Moment de terreur:
 
Relation entre f et g:
 
Indication:
 
Parité:
 
Le résultat:
 

L'oral s'est arrêté là, mais je me suis dit que pour en déduire que X,Y ps constantes, on dit que phi est constante en module égale à 1, donc il y a égalité dans l'inégalité triangulaire, donc les exp(ikt)P(X=k) sont colinéaires de même sens (dans C) pour tout t, donc au plus un terme est non-nul, donc un terme est non-nul.
Mais ça me semble douteux de faire une inégalité triangulaire infinie.

Ressenti:
J'ai eu pas mal d'idées, et eu relativement peu d'aide, sauf vers la fin où l'examinatrice a accéléré.
Mis à part le frisson sur l'histoire de dérivée, il n'y a pas eu d'accident.
Sur ce genre d'exercice, ça vaut le coup de tâtonner (surtout pour 4)), car avec un peu de chance, on trouve des choses intéressantes.

Mais comme le dit Jérôme Coup, on est très mauvais juge.

Ciao les ENS !
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Rybaltchenko UlmLCR
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