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 Maths ULCR-M.Lecroq

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17-MarieLecroq



Messages : 17
Date d'inscription : 21/09/2016

MessageSujet: Maths ULCR-M.Lecroq   Jeu 22 Juin - 16:55

Examinatrice assez gentille, qui posait de nombreuses questions sur des points assez précis du cours (c'était le jury 1).

J'ai eu du calcul différentiel, elle m'a d'abord demandé si je savais ce qu'était une matrice hessienne. Après que je lui aie défini, elle m'a demandé de démontrer que si un point est minimum local d'une fonction de R^n dans R alors les valeurs propres de sa matrice hessienne en ce point sont toutes positives.

J'ai ensuite eu un exercice dont je vous joins l'énoncé.
Elle m'a directement donné l'indication que je vous joins aussi, puis m'a demandé comment je pouvais la relier au cas étudié dans l'exercice pour démontrer le résultat. J'ai fait ce lien rapidement à l'oral car il restait peu de temps.
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17-BROWNE Pierre



Messages : 10
Date d'inscription : 04/09/2016

MessageSujet: Re: Maths ULCR-M.Lecroq   Jeu 22 Juin - 21:34

J'ai eu exactement le même exercice que Marie. L'examinateur était cool, il était assez réactif par rapport à ce que je disais et m'a pas mal guidé quand j'en ai eu besoin. A un moment, il est parti pendant 2-3 minutes de la salle.

Les choses ont été un peu présentées / traitées un peu différemment pour moi:

Question préliminaire, montrer que si f : R^n -> R admet un min en x0, la hessienne évaluée en x0 n'a que des valeurs propres positives.
Marie et moi avons tous les deux proposés la formule de Taylor (version multi-dimension), mais Marie a pu l'utiliser sans la redémontrer (bien que l'examinatrice lui ait précisé que ce soit hors-programme), quant à moi j'ai procédé autrement, en se ramenant à une fonction à 1 variable (g : t -> f(x0 + tH)) et, en écrivant le fait que g''(x0) >= 0 (Taylor), on peut conclure sur le caractère positif de la hessienne, donc sur ses valeurs propres.

Ensuite :

1) énoncé identique à celui donné par Marie, mais avec l'indication (immédiate) suivante :
si epsilon > 0, MQ  u_epsilon  : (t,x) ->  u(t,x) +  epsilon * (4*n*t  +  norme de x au carré)  n'atteint pas son inf.

2) on considère les fonctions gamma : u -> exp(-u²)  et G : x -> intégrale de 0 à x de gamma
puis v : (t,x) -> G( (x+1) / (2 racine de t) ) - G( (x-1) / (2 racine de t) )  sur R+* x R.
MQ v vérifie les conditions de la question 1).

J'ai eu pas mal d'aide sur la question 1), notamment pour relier l'inf de u_epsilon à ceux de u0 / u.
J'ai eu le temps de faire le caractère borné et le prolongement continu de la fonction v dans la question 2), en partie à l'oral. (v0 est souvent nul ...).

Pierre BROWNE
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