Examinateur amical, peut être 35-40 ans, pas très bavard au début et surtout fatigué je crois. (En même temps digérer assis sur une chaise lorsqu'il fait 30° dans la salle, ça fatigue). Il m'a laissé pas mal de liberté, tout en me conseillant quelques fois : c'était un bon équilibre je n'ai pas eu l'impression de ne rien faire.
C'était un exercice de proba decoupé en plusieurs questions sans grande difficulté au debut, mais je n'ai pas été assez rapide pour arriver à la partie difficile.
Exercice :
On prend Xn , n>=1 vard indépendantes de même loi. On note Sn la somme des Xn de 1 à n avec S0=0. On note I(n) le nombre de valeurs distinctes de {S0, S1,..., Sn}.
1)Montrer que P(I(n)=I(n-1) + 1) = P(S1xS2x...xSn !=0)
2)Montrer que E(I(n))/n tend en +infini vers P( intersection pour k>=1 de (Sk != 0))
3)On prend le cas particulier ou Xi est à valeur dans {-1,1} . On note p=P(X1=1). Montrer que E(I(n))/n tend en +infini vers |2p-1|
Indication donnée en même temps que la question 3) avant même que je fasse quoi que ce soit:
On pourra dans un premier temps admettre que P(union pour k>=1 (Sk=0))=(1-p)/p si p>=1/2
Je n'ai pas eu le temps que terminer la question 3).
J'ai montré que c'était vrai en admettant l'indication pour p>1/2 puis pour p<1/2 rapidement à l'oral avec son aide.
Indications :
- Indication question 2:
Après être parti sur une mauvaise piste i.e exprimer l'espérance de I(n) puis exprimer P(I(n)) en fonction de la probabilité de la question 1, puis m'être rendu compte que ça laissait un inconnu, il m'a gentilment dit que peut être il faudrait essayer une autre méthode. Alors j'ai dit qu'à priori on pourrait exprimer I(n) comme somme de vard mais qu'intuitivement je ne voyais pas lesquelles. Il m'a alors dit un truc du style "la plus simple quand on veut passer d'une suite à une série". Et en effet sinon introduit Yn=I(n)-I(n-1) ça marche vachement bien !
- Indications question 3:
à un moment on arrive à devoir montrer que P(union pour k>=1 de (Sk=1))=1 (dans le cas p>1/2) et il m'a dit qu'il fallait utiliser la loi faible des grands nombres ! Je pense que c'est quelque chose à retenir. En effet on a Sn/n qui tend en proba vers E(X1). Mais dans ce cas E(X1)>0 donc Sn/n tend en proba vers un nbre positif et donc (ça peut se justifier proprement mais il était convaincu par oral) Sn tends presque sûrement vers +infini. Donc presque sûrement Sn vaut 1 a un moment d'où le résultat.
Enfin pour passer au cas p<1/2, il me restait très peu de temps, il m'a fait comprendre qu'il ne fallait pas chercher compliqué : on étudie les -Xi et on a le résultat.
Voilà voilà. Bonne chance à ceux qui ont encore des oraux de maths à l'ENS.