Bonjour à tous,
Ce matin j'ai rencontré le légendaire examinateur aux chocolats.
Voici un descriptif des lieux, masqué afin de ne pas gâcher la surprise:
- Le lieu:
L'épreuve s'est déroulée en T14. Cette salle est située sur le toit, ainsi j'ai monté marche par marche de nombreux escaliers, empruntant un chemin plutôt tortueux, découvrant l'architecture hétéroclite du bâtiment.
Le couloir tangent à la salle est couvert d'un revêtement en verre, fournissant un climat propice à la culture des tomates. Certaines fenêtres étaient ouvertes, j'ai pu ainsi en y glissant ma tête observer une vue saisissante de Paris, bercé par une brise rafraichissante.
En attendant mon heure, j'ai patienté dans la "Courô" où j'ai trouvé des HX2. Je me suis apaisé en écoutant la fontaine et en regardant les poissons qu'elle abrite. Ceux-ci étaient d'un rouge vif, car sinon ils seraient invisibles dans l'eau verte et opaque.
L'examinateur au chocolats est venu me chercher dans le couloir, il a suivi le protocole habituel (pièce d'identité, convocation, "ceci est un prétexte à la discussion").
L'exercice posé consistait à déterminer les racines carrées morphismes de groupe dans des corps usuels.
Soit K un corps. On note (K*)² l'ensemble des carrés de K*.
Déterminer les morphismes de groupe r: (K*)² -> K* tels que
r(x)²=x.
On s'intéresse aux cas K= |R, C, Q, Z/pZ.
Déroulé:Il m'a laissé réfléchir cinq minutes.
Dès l'énoncé, il m'a dit que K* et (K*)² étaient des groupes, je ne l'ai pas justifié.
J'ai déterminé (K*)² dans les cas R,C,Q.
J'ai évacué l'existence dans le cas R en faisant un
dessin.
J'ai cherché un morphisme qui convient dans le cas C.
Il est revenu, je lui ai expliqué ce que j'ai fait, dans le cas Q j'ai dit que seuls les carrés parfaits étaient dans Q*²interZ. Il m'a demandé de le démontrer. On est retourné au cas R, il me demande de montrer l'unicité. Je vois ce qu'il se passe avec r: x -> -sqrt(x), qui n'est pas un morphisme, je remarque qu'on peut en réalité avoir un signe dépendant de x. J'ai tenté un cas particulier (2 -> -sqrt(2), 3 -> sqrt(3)).
- Unicité dans R:
J'ai écrit r=epsilon*sqrt, on a epsilon morphisme dans {-1,1}. Il m'a dit regarde l'image par epsilon de sqrt(2), je suis tombé sur une contradiction et j'ai généralisé: si il existe x tq r(x)=-1,
alors 0<r(sqrt(x))²=r(x)=-1 WTF. D'où l'unicité.
On est passé à C. Il m'a dit ce que j'en pensais intuitivement. J'ai dit que culturellement, on sait qu'il n'existe pas de racine carrée continue. Je tente le morphisme s: r0*exp(ix0) -> sqrt(r0)*exp(ix0/2), avec x0 l'argument principal. J'ai dit que le caractère morphisme pose problème car (x1+x2)/2 n'est pas forcément dans ]-pi,pi]. Il m'a demandé en quoi ça pose problème, j'ai sorti un contre-exemple un peu compliqué (exp(3pi/4)), il m'a dit trouve plus simple.
- Plus simple:
J'ai proposé -1, car alors s(-1)=i et s(-1)²=s(1)=1 WTF. J'ai généralisé: si s convient, s(-1)=epsilon*i et s(-1)²=-1=1 WTF. D'où non-existence.
On est passé à Q. Il me dit de montrer qu'il y a plusieurs solutions et est parti cinq minutes.
J'ai décrit Q*² comme {a²/b²| a^b=1, a>0, b>0}.
Je propose le morphisme sqrt restreint à Q*².
- Les plusieurs solutions:
Il me guide alors beaucoup: par analyse-synthèse, il suffit de connaître r(p²) avec p premier, qui peut prendre la valeur p ou -p. On construit alors r en décomposant a et b en facteurs premiers.
Ressenti:J'ai l'impression d'avoir répondu aux exigences de bases: j'ai fait des
dessins, j'ai traité des cas particuliers, et expliqué ce qui gêne. L'examinateur aux chocolats et moi avons beaucoup discuté, ce qui en outre rend les 55 minutes de passage éprouvantes.
Cependant il m'a beaucoup guidé, et malgré mes nombreuses prises d'initiatives, je ne me suis pas trouvé très efficace, surtout vers la fin.
Mais comme l'a dit Jérôme Coup, nous sommes très mauvais juges.
Lun 19 Juin - 13:34